Pamiętaj, cholero, nie dziel przez zero – dzielenie przez zero

Czas czytania w minutach: 5

Jest zestaw kultowych tekstów, które chyba każdy z nas kiedyś słyszał. Czasem ich intencją było przekazanie znaczenia dosłownego. Czasem chodziło raczej o wyśmianie czegoś, czy inny sposób odniesienia się do, było nie było, elementu naszej kultury. Mówię tu o takich klasykach, jak “Nie w szczepionkę!” czy “Dobry, taki nie za słodki”. I podobnie każdy chyba kiedyś w swoim procesie edukacji zetknął się z hasłem “nie dziel, cholero, przez zero!”. Ale dlaczego? Co w zerze jest takiego niezwykłego, że nie można przez nie dzielić, i co się stanie, gdyby jednak spróbować? Pozwól, że wyjaśnię!

Podwójne zero

Przede wszystkim warto wspomnieć, że sama idea zera nie jest taka oczywista. Najpierw warto sobie uświadomić, że zero tak naprawdę występuje w dwóch rolach. Jedna z nich, to symbol używany dla wskazania “pustego miejsca” – na przykład liczbę sto zapisujemy jako 100, ponieważ pierwsza z cyfr oznacza liczbę setek, druga – dziesiątek, a trzecia jedności. No i ani dziesiątek, ani jedności w liczbie sto nie mamy, ale zapis musi się przecież jakoś różnić od zapisu jedynki. Czy dziesiątki, czy jakiejkolwiek innej liczby tego typu. Stąd też zera, które wskazują, czego liczbą jest ta jedynka na początku.

W tym sensie zero było znane już od dawna choć oczywiście nie od zawsze – ot, chociażby system rzymski się bez niego obywał. Niektóre systemy stosowały zamiast zera po prostu pustą przestrzeń, ale pojawiał się problem określenia, ile dokładnie tej pustej przestrzeni jest – czy powinno tam być jedno zero, czy może pięć? Sumerowie wykorzystywali podwójny ukośny klin – taki jakby podwójny slash: //. Okrągłe zero wywodzi się zaś z Grecji. No ale to wciaż nie jest to znaczenie, o które nam chodzi. Nikt nie ma przecież wątpliwości, że możemy dzielić przez liczby zawierające dowolnie wiele zer, byle tylko przed lub za nimi znajdowała się jakaś inna cyfra.

Nic – czy jednak coś?

Natomiast tutaj bardziej istotny dla nas jest drugi sens zera: jako nic. Koncept “niczego” był oczywiście znany już od dawna, ale przez wieki matematyka go nie absorbowała, nie formalizowała, a tym bardziej – nie nadawała mu żadnego znaku graficznego. Czyli żadnej cyfry. Z kolei brak formalizacji oznaczał, że nie próbowano wykonywać działań z zerem, takich jak dodawanie czy odejmowanie, więc problem dzielenia przez zero nie istniał w ogóle.

Dopiero działający w VII wieku naszej ery indyjski astronom i matematyk Brahmagupta zaczął traktować zero jako “normalną” liczbę – a przynajmniej był pierwszą osobą, co do której wiemy, że to zrobiła. On również wprowadził pojęcie liczb ujemnych. Chwilę potrwało, zanim jego rewolucyjne na tamten czas idee przedostały się do Europy, po drodze zwiedzając świat muzułmański. Gdy jednak koncept zera i liczb ujemnych rozprzestrzenił się po świecie, zmienił oblicze matematyki do tego stopnia, że dziś już nie bardzo potrafimy sobie wyobrazić, że mogłoby ich zabraknąć.

Fundamenty matematyki

Wprowadzenie zera jako normalnej liczby wymagało również wprowadzenia zasad, na jakich liczba ta będzie funkcjonowała. Mówimy tutaj o takich aksjomatach¹, jak to, że jeśli do dowolnej liczby dodajemy zero, to ta liczba się nie zmienia. Pamiętajcie, że cała matematyka opiera się na pewnych aksjomatach. Można wręcz powiedzieć, że matematyka jest zbiorem logicznych konsekwencji wynikających ze zbioru przyjętych aksjomatów.

I właśnie takim logicznym skutkiem przyjętych aksjomatów jest niemożliwość dzielenia przez zero. Zastanówmy się najpierw nad tym, jaki rzeczywisty, czy – jak to się czasem określa – fizyczny sens miałoby mieć takie dzielenie. Jeśli dzielę coś przez dwa – dzielę na dwie części. Tak samo działa dzielenie przez trzy, cztery, pięć czy dowolną inną niezerową liczbę naturalną. Nieco trudniejsze do zrozumienia jest dzielenie przez ułamki, ale możemy to rozwiązać tak: jeśli dzielę przez dwa, to znaczy, że każda część po podziale ma stanowić ½ całości. Dzielenie przez ½ powinno więc działać odwrotnie: po takim dzieleniu każda część ma stanowić dwukrotność całości. Innymi słowy: dzieląc przez dwa pytam, ile elementów będzie w każdej z dwóch nowych grup. Dzieląc przez ½ pytam, ile bedzie elementów w jednej nowej grupie, jeśli zmontujemy ją z dwóch mniejszych. Ale czym właściwie byłoby dzielenie przez zero w tym kontekście? Nie wiadomo.

Zero w drugą stronę

Ale trzeba przyznać, że sam w sobie ten argument jest dość słaby. Przecież matematyka nie opiera się na intuicji czy zdrowym rozsądku, tylko na formalizmie i logice. No więc spróbujmy podejść do tematu od innej strony, a mianowicie – od definicji mnożenia i dzielenia. Dzielenie jest formalnie zdefiniowane jako mnożenie przez odwrotność. Czyli jeśl dzielę 8 przez dwa, to tak, jakbym mnożył 8 przez ½. Ale ta zasada działa w obydwie strony: jeśli dzielę 8 przez 1/2 , to jest to tym samym, czym mnożenie przez dwa. Oznacza to, że dzielenie jakiejkolwiek liczby przez zero jest tym samym, czym mnożenie jej przez 1/0. Innymi słowy: jeśli chcemy mieć jakiekolwiek dzielenie przez zero, musimy mieć wartość dla wyrażenia 1/0, a jeśli ją będziemy mieli, to możemy dowolną liczbę dzielić przez zero.

Problem się więc upraszcza do prostego: czy 1/0 ma jakąś wartość? Czy możemy podzielić przez zero jedynkę? Tu wracamy do aksjomatów. Zastanówmy się, co będzie, jeśli ustalimy, że jakaś liczba jest rzeczywiście wynikiem dzielenia jedynki przez zero. Jeśli tak będzie, to znaczy, że musi istnieć liczba, która pomnożona przez zero, da nam jeden:

Skoro 1/0=x

To 1=0*x

No i tu mamy problem, ponieważ dowolna liczba pomnożona przez 0 daje nam zero. Więc albo przyjmiemy, że zero jest równe jedności, co jest sprzeczne z innym podstawowym aksjomatem, albo jednak przez zero dzielić nie można. I zdecydowanie łatwiej jest pójść tą drugą drogą.

Dzielenie przez zero – sprzeczność za sprzecznością

Pewnie wielu z Was widziało popularny swego czasu dowód, że 1=2. Przykład można znaleźć tutaj, ale tego typu dowodów można znaleźć więcej. I jeśli się uważnie je prześledzi, okazuje się, że wiele z nich bazuje na podzieleniu przez zero w którymś momencie… Tylko w taki sposób, żeby nie rzucało się w oczy, że właśnie dzieli się przez zero. I to jest dodatkowe wyjaśnienie, dlaczego dzielenie przez zero jest zabronione: jeśli go nie zabronimy, to cała reszta matematyki też wchodzi w sprzeczności.

Co ciekawe, jest dział matematyki, który zajmuje się ustaleniem, co będzie, jeśli będziemy próbowali dzielić liczbę przez wartość dążącą do zera. Zdarzyło się Wam kiedyś liczyć granice ciągów? Jeśli tak, to wiecie, o czym mówię. Gdy mianownik ułamka dąży do zera, a w liczniku jest “zwykła” liczba – to wynikiem jest nieskończoność. Tak właśnie wygląda wykres funkcji cotangens. Gdy kąt się zmniejsza, to przyprostokątna, przez którą dzielimy, jest coraz krótsza – i dąży do zera. Dlatego też funkcja w niektórych miejscach dąży do nieskończoności.

A gdyby spróbować…

Gorzej, jeśli w liczniku ułamka też znajduje się wartość, która dąży do zera. Albo taka, która dąży do nieskończoności. Wtedy, i w kilku innych przypadkach, musimy zaprząc do pracy szare komórki i wykombinować, jak szybko każda z tych wartości dąży tam, gdzie dąży, i na tej podstawie obliczyć wartość granicy… Ale zostawmy ten temat i wróćmy na chwilę ze świata liczb do świata rzeczywistego. Tego, który opisuje fizyka.

Fizyka, czyli najbardziej zmatematyzowana nauka. Można by wręcz powiedzieć: matematyka zastosowana do opisu rzeczywistości. Co, jeżeli w jakimś równaniu fizycznym bylibyśmy zmuszeni do dzielenia przez zero? No cóż… Katastrofa. Ale spokojnie, nie aż taka.

Granice praw fizyki

Mówimy tu nie tyle o katastrofalnym załamaniu się praw fizyki, co o naszej katastrofalnej ich nieznajomości. Fizycy nie lubią nieskończoności – i dzielenia przez zero też nie. I jeżeli w prawach natury, które znamy, pojawia się któryś z tych dwóch elementów, to wiadomo, że czekają nas ciekawe czasy. Czasem wystarczy geniusz, żeby pozbyć się tej upiornej nieskończoności. Jak na przykład Feynman, który tym właśnie się wsławił – jeśli chcecie wiedzieć więcej, zapraszam do książki “Feynman. Fizyka aż po grób”, którą tu już kiedyś recenzowaliśmy.

Ale czasem ten geniusz jest potrzebny, żeby sformułować nowe prawa fizyki. Tak właśnie narodziła się mechanika kwantowa. Była to odpowiedź na teoretycznie nieskończenie intensywne promieniowanie w nadfiolecie, które miało być emitowane przez niektóre ciała – a przecież w oczywisty sposób udało się dojść do wniosku, że nie było. I tak samo z resztą jest w kwestii początków naszego wszechświata. Równania, których używamy do opisu rzeczywistości, zwracają błąd dzielenia przez zero, gdy usiłujemy dojść do warunków, które tu panowały w czasie “zero”. Jeśli więc kiedyś gdzieś przeczytacie, że Wszechświat na początku był nieskończenie mały i nieskończenie gęsty, albo że czarna dziura jest nieskończenie mała, wręcz punktowa… To pamiętajcie, że to nie do końca tak. Po prostu wiemy, że nasze równania nie opisują dobrze tego stanu – ale nie wiemy, jak je zmodyfikować.

Jakby sama Matka Natura chciała nam powiedzieć: nie dziel, cholero, przez zero!

Bibliografia

Zainteresowało Cię to, co czytasz? Chcesz wiedzieć więcej? Śledź nas na Facebooku, i – pozwól, że wyjaśnię!